Однако, здравствуйте! (С)
igrek писал(а):
А_Ланов писал(а):
То есть, кривая это одномерный геометрический объект, и она является не множеством точек самой себя, а множество точек (мест, если угодно) пространства большей мерности - плоскости, пространства, «далее везде».
Нет, конечно. Тут требуется уточнение, с какой точки Вы смотрите. Если с точки зрения плоскости или ещё какого-то пространства, в которой эта линия находится — то да, это множество точек (точнее, подмножество) плоскости, пространства, "далее везде". Если с точки зрения самой кривой, которая существует сама по себе, без какого-то внешнего пространства — то для неё нет разницы, что кривая, что прямая. … У жителей одномерного пространства … любое незамкнутое пространство одинаково.
Ну, вот. Можно сказать, что наконец-то мы подобрались к сути «философской проблемы геометрии». В результате длительной (но плодотворной) полемики «внезапно» выяснилось, что геометрия без наблюдателя теряет смысл. Без восприятия её Сознанием «геометрия протяженная» вырождается в «геометрию аналитическую», то есть в «чистую» математику. А математика, как информационно-описательная часть геометрии, умопостигаема без необходимости использовать понятие протяженности.
Но даже математическое описание геометрии - несмотря на предельную однозначность, которую может демонстрировать математика как «описательная» дисциплина - работоспособно лишь «снаружи» геометрии. При этом, та же математика одновременно объясняет, почему дела обстоят именно так (вспомним за Гёделя). Но суть дела от этого не меняется:
Всякий геометрический объект - плоскость, пространство, фигура и пр. - могут быть описаны лишь как подмножество некоего множества (или под-пространство некоего пространства) - как Часть относительно Целого.
Обратное возможно лишь частично. Относительно Части можно описать только некоторые свойства Целого – те, которые является «экстраполяцией» внутренних свойств. То есть, на основе изучения Части можно понять лишь некоторые «внутренние» свойства Целого. Для описания же Целого необходима внешняя по отношению к Целому «точка опоры». Собственно, это и вытекает из теоремы о неполноте:
Являясь частью системы нельзя доказать её наличие, равно как и её отсутствие.Применительно к нашему примеру данное обстоятельство будет проявляться в том, что жители пространств любой мерности не смогут его описать "изнутри", несмотря на то, что им известны его внутренние свойства. Потому и гипотетические одно-мерные жители кривых не просто не увидят кривизны, но даже догадаться не смогут о существовании такого геометрического понятия, как «кривая».
Тем не менее, аналогично нам они вполне могут доказать и свою-собственную «теорему Пуанкаре в общем виде» (для любой мерности), из чего последует, что воспринимаемый ими мир «обязан» быть подмножеством Мира большей мерности, поскольку существовать может исключительно как гомеоморфная его проекция. То есть, их «прямая» в этом случае должна будет иметь «прообразом» некоторую кривую (например, гиперболу), что априори предполагает её существование как минимум в плоскости.
Но самое интересное другое - их «прямой» вовсе не обязательно существовать на самом деле. Для этого им достаточно иметь всего лишь «прямое» восприятия этой кривой. Вот оно-то, восприятие это, и будет той-самой гомеоморфной проекцией реальной кривой. То есть, под «образом» их Мира в их Сознании может скрываться всего лишь факт недо-восприятия одномерными жителями кривизны своего мира. Они могут прекрасно жить «внутри» какой-нибудь гиперболы, и при этом воспринимать её прямой, которая, естественно, этой гиперболе гомеоморфна. То есть, не требуется никакой реальной «прямой в плоскости»! Вполне достаточно находиться внутри кривой, но иметь одно-мерное её внутреннее восприятие - и быть полностью уверенными в существовании внутри прямой!
Подведя промежуточные итоги, вот какие выводы в связи с этим напрашиваются в отношении геометрии:
1. Есть собственно геометрическая реальность, и есть восприятие этой геометрической реальности в Сознании.
Здесь мы никакого открытия не сделали, а всего лишь немного перефразировали Канта — реальность как ноумен, а её восприятие - как феномен (а «мы» - чтобы разделить ответственность
). Принципиально это то же самое, как длина волны фотона и цвет — первое это реальность, второе — её восприятие..
2. Восприятие реальности не позволяет понять, чем в реальности является эта-самая Реальность. Но по совокупности внутренних признаков (например, некоторых закономерностей в физических явлениях) можно понять, что восприятие Реальности как минимум гомеоморфно самой реальности.
Короче, есть Мир реальный, и есть его Миро-восприятие - то, как мы его «видим» в Сознании. Не факт, что этот Мир нами воспринимается полностью. Вполне возможно, что мы "видим" лишь какую-то его часть. Но мало того - сама эта «воспринимаемая часть» к тому же ещё и воспринимается «усеченно». И про эту «усечённость» мы можем сказать лишь то, что результат восприятия этой «усечённости» гомеоморфен той реальной части Мира, которую мы в состоянии воспринять.
И на этом — всё. Чем же Мир является в реале, мы можем только гадать. Поясню это на рисунке:
Экстраполируя этот принцип на нашу 3-мерную обыденность, можно сказать, что Мир может представлять из себя многомерную конструкцию любой мерности и любой геометрии. Но его восприятие нами оказывается 3-мерным и евклидовым просто потому, что таковы законы формирования в нашем Сознании феномена Протяженности - они соответствуют 3-мерной евклидовой метрике. Если совсем коротко — наше Сознание евклидово, оттого мы Мир таким и видим.
Таким образом, теорема Пуанкаре, кроме всего прочего, может описывать принцип связи между действительным положением дел и восприятием этой действительности Сознанием, который заключается в гомеоморфности.
Применительно к данному примеру для мерности n=1 теорема Пуанкаре покажет тамошним одно-мерным жителям, что в действительности их «прямая» может оказаться не столь уж и прямой. Ввиду одно-мерности своего восприятия, они не смогут себе этого вообразить, и назовут эту реальную кривую какой-нибудь «двумерной прямой» (по аналогии с нашей 3-мерной сферой). Но математика им в помощь – её математическое описание будет столь же адекватным.
То есть, ещё раз повторюсь, «видимая» ими прямая может оказаться результатом их же недо-восприятия - когда возможности формирования феномена протяженности в Сознании ограничены только 1-мерным «исполнением». Но благодаря математике даже с таким «недо-восприятием» можно понять, что мир должен быть более, чем 1-мерен.
На этом пока прервусь, дальше будет ещё чудесатее, ибо возникает мысль, что для "видимости" Мира ему вовсе не необходимо быть в реальности именно Миром. Достаточно того, чтобы в Сознание проникала описательная его часть - "чистая" математика, информация, которая будет "модулировать" феномен протяженности с появлением в Сознании полного ощущения существования в протяженном Мире. И самое интересное, что этот вариант оказывается самым обоснованным, а все "вещественно-материалистические" его варианты, напротив, абсурдными...