igrek писал(а):
А_Ланов писал(а):
Во-вторых, точка пересечения лучей (полюс) в их восприятии находится в бесконечности.
Как это в бесконечности, если расстояние до неё имеет конечную величину, и время путешествия до неё конечно? Но даже и не надо добираться до точки пересечения: по мере движения в её сторону расстояние между прямыми с первых же шагов будет уменьшаться. Невозможно будет провести две прямые так, чтобы расстояние между ними оставалось постоянным.
Здесь мы с вами опять возвращаемся в тему искривленных и сжатых пространств. Чтобы проще было объяснить, почему полюс в данном случае (для тамошних обитателей) будет находится в бесконечности, я слегка "визуализировал" объяснение, нарисовал объект - прямую на плоскости и человечков на ней для пояснения, что и почему с ними будет происходить в процессе сжатия.
Вот так выглядит прямая на евклидовой плоскости, если смотреть на неё из нашего евклидового пространства:
Вот так будет выглядеть та же плоскость, если её сжать по оси Х по закону бесконечно-убываемого ряда:
Видно, что для нас, как для внешнего наблюдателя, во-первых:
- плоскость стала конечной по оси Х: бесконечность оси Х превратилась в "конечность" с "видимой" шириной L
x = 4 метра (по 2 метра в обе стороны от начала координат);
- прямая искривилась - внешне она превратилась в четверть эллипса, поскольку в точках О и "бесконечность" по оси Х она касательна оси Х и оси Y соответственно. При этом человечки имеют разную
видимую ширину при том, что сами они ничего этого не замечают. Для них ось Х всё такая же бесконечная - чтобы дойти до её "конца" им надо сделать бесконечное количество шагов, которые им кажутся одинаковыми, а нам - бесконечно уменьшающимися.
Если то же самое сделать и с осью Y, плоскость превратится в круг видимым диаметром 4 (метра):
Видно, что прямая вновь стала прямой, поскольку она сжата одинаково по обеим осям. Однако она так же сжата вдоль самой себя, как и каждая из осей. При этом человечки уменьшаются так же пропорционально - и ростом, и шириной.
Дальше мы афинно искривляем и "дожимаем" полученный круг в третьем измерении и получаем видимую сферу:
Для нас она конечна, с радиусом 2 (метра). Но для тамошних человечков она всё так же бесконечна в обе стороны - и вдоль меридианов, и вдоль экватора. Попытка дойти до полюса бесконечно уменьшающимся шагом потребует совершить бесконечное количество шагов и бесконечного же времени (равно как и дойти "до той стороны" сферы по любой параллели). Причём, для тамошних обитателей безразлично, из какой точки начинать движение. Всё равно в любую сторону им требуется сделать всё то же бесконечное количество шагов - либо сразу уменьшаемыми шагами, либо сначала увеличивающимися, потом уменьшающимися. Для них их искривленная плоскость останется евклидовой - плоской, равномерной, изотропной и бесконечной. Сферичности они не заметят.
Однако, вы утверждаете, что живя на сфере, это можно таки понять из того факта, что кратчайшее расстояние на сфере (геодезическая линия) всегда является дугой большого круга (который проходит через диаметр сферы), и она совпадает с параллелями и меридианами, вдоль которых произошло "сжатие" плоскости при превращении её в сферу, лишь в частном случае.
Хорошо, что вы подняли этот вопрос. Понятие "геодезичекой линии" является более общим, нежели прямая, дуга и пр. Прямая (отрезок) это всего лишь частный случай геодезической линии - конкретно, на плоскости. На сфере же кратчайшим расстоянием, действительно, будет дуга окружности с центром в центре сферы (в самолетовождении такая дуга называется ортодромией). Это легко можно увидеть даже на картах Яндекса, достаточно инструментом "линейка" измерить расстояние между, например, Анадырем и Лондоном - кратчайший путь окажется проложенным аж через Сев. полюс.
Но теперь более интересный вопрос применительно к нашей "сжатой" сфере: какая линия окажется наиболее короткой для обитателей сжатой сферы? Для нас, внешних наблюдателей, кратчайший путь с ихней "чукотки" в ихнюю же "лондощину" так же должен пройти через сев. полюс - по ортодромии. Но для "сферожителей" путь через полюс это путь в никуда - для них это всё то же бесконечное количество шагов. Да и никакого полюса в их жизни нет - их вселенная в их же восприятии это плоскость во все стороны бесконечная. Для них самым коротким путём окажется тот путь, который сжат минимально, и потому потребует минимального количества шагов. Если, например, обе точки лежат на одной параллели (как это видится нам), то самое меньшее число шагов, за которое можно перейти из одной точки в другую, будет находится на этой же параллели. Если же они пойдут по нарисованной для них ортодромии, то им придется сделать большее число шагов, а сам путь будет видеться им дугой. Если же точки лежат произвольно - разно-широтно и разно-долготно - то кратчайшим расстоянием для них окажется траектория, которая нам будет видеться как лаксодромия (кривая на поверхности Земли, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом), а для "сферожителей" - как прямая. Зато ортодромия окажется для них самой настоящей дугой - естественно, более длинной, чем прямая.
Для изотропной сферической поверхности таких проблем не возникнет. Там всё, что вы говорили про геодезические линии, справедливо. Но в таком случае она должна быть конечна, и это обстоятельство позволит жителям проверить свои догадки (например, пустив луч лазера вдоль поверхности и через некоторое время увидев его со спины). Если перейти от их плоской жизни в нашу реальность, то этот способ и нам подойдёт - как говорится, "дело техники" и "вопрос времени". Если мы живём на 3-мерной поверхности 4-мерной сферы, проблемы проверки этого предположения сводятся "лишь" к длительности ожидания возврата луча "с той стороны", сравнимой с возрастом Вселенной; и проблемой "источника питания" для накачки лазера, сравнимой со взрывом сверхновой (навскидку). При этом в отношении нас предположение, что мы живем на поверхности 4-мерной сферы с анизотропией поверхности, сродни описанной выше, так же справедливо и в той же мере. В этом случае для внешнего наблюдателя, обладающего 4-мерным восприятием, наша Вселенная будет иметь конечные размеры, в то время как для нас она будет всё такой же бесконечной...
......
Поднятые данной темой вопросы (как и тема расширения Вселенной) позволяют поставить вопрос самой возможности существования разных геометрий в отрыве от геометрии евклидовой - той, которую мы "исповедуем". Возможно ли (даже чисто математически) самостоятельное существование той же геометрии Лобачевского - иначе как "вложенной" в геометрию Евклида? И правомочно ли считать такую геометрию не частью геометрии Евклида? Даже в случае с анизотропией последняя задается относительно базового равенства Х' = X, которое обозначает отсутствие анизотропии. Любое задание степени анизотропии (например, X' = lnХ) уже по самому способу задания оказывается производной "евклидности".
Вышеприведенный пример призван показать, что без внешнего наблюдателя никакая искривленность и анизотропность пространства изнутри самой этой анизотропности восприняты быть не могут. Все примеры "кривых" геометрий являются таковыми исключительно благодаря заданию их параметров относительно геометрии Евклида, которая оказывается базовой платформой для любых "искривлений". В противном случае нет самой возможности задать искривление, и на примере "сферожителей" это продемонстрировано, я надеюсь, достаточно ясно.
Представьте, что нет никакой внешней геометрии, никакого внешнего мира - сфера, на которой они живут, одно-единственное пространство. Но тогда как им понять, что из себя представляет их мир? Не говоря уже о том, что сфера вообще не может существовать вне некоего внешнего пространства, в порядок которого она вложена, и которым описываема?